COVID-19 Entwicklung in Deutschland

Achtung: der Stand ist nicht mehr aktuell.

Viele Modellbildungsaufgaben in der Mathematik führen im Kern auf das Problem, eine Funktion zu finden, deren Graph zu den erhobenen Daten passt. Bereits in der Oberstufe befasst man sich im Rahmen der Analysis mit der Bestimmung von Funktionen anhand charakteristischer Eigenschaften.

Stand: 5. Mai 2020

Mit Hilfe dieses GeoGebra-Applets lässt sich sozusagen spielerisch eine Funktion finden. Man muss dazu lediglich die Parameter a, b, und c mit den Schiebereglern so ändern, dass die Funktionsgraphen die Verläufe der Punkte annähernd abbilden. Die blauen Kringel geben die kumulierten Daten für Deutschland an. Das sind alle bisher gemeldeten Corona-Fälle. Man vermutet allerdings eine Dunkelziffer, die deutlich höher ist. Es leuchtet ein, dass sich die Gesamtzahl der bisher bestätigten Fälle irgendwann (wie z.B. in China) auf ein bestimmtes Niveau einpendeln wird (daher logistisches Wachstum). In der ersten Phase des rasanten Wachstums stieg die Anzahl der bestätigen Fälle exponentiell mit einem Faktor zwischen 1,4 und 1,3 pro Tag an. Ohne eindämmende Maßnahmen würde sich ein Virus immer stärker vermehren (Kurve orange):

Seite aktualisieren, damit aktuelle Werte angezeigt werden (werden nur noch wöchentlich aktualisiert). Stand: 15.6.2020  9.00 Uhr


186320 / 6.841 RLP / 102 Stadt Trier

Ab dem 20.4.20 werden für NRW nur noch die vom Landeszentrum Gesundheit (LZG NRW) direkt an das RKI gemäß § 11 Infektionsschutzgesetz (IfSG) gemeldeten Daten veröffentlicht und nicht mehr die Fallzahlen, die dem Ministerium bisher von den kommunalen Krisenstäben übermittelt wurden. Das führte an diesem Tag zu einer Verringerung der kumulierten Fallzahlen gegenüber dem Vortag von mehreren Hundert Fällen. Das RKI hatte bereits am 17.03.20 die Veröffentlichungsart und Zeit über laborbestätigte COVID-19-Fälle geändert. So wurden ab diesem Zeitpunkt nur noch die direkt und elektronisch an das RKI übermittelten Fälle gezählt, nicht mehr die vorab gemeldeten. Dadurch wurde der Abstand zwischen den Fallzahlen der JHU und des RKI sehr groß. Meine Zahlen richten sich nach der Quelle der Verursachung, nach Daten der Städte, Kreise und Länder.


Wie kommen die Fallzahlen zustande? Warum gibt es Abweichungen zu anderen Anbietern?
Die hier veröffentlichten Zahlen sind die Summe der Fallzahlen aller Bundesländer. Manche Bundesländer melden morgens, andere mittags, wiederum andere nachmittags oder abends. Um den Stand zu ermitteln, warte ich bis abends ca. 20 Uhr ab. Größere Unterschiede in den Statistiken kommen u.a. durch das Bundesland Nordrhein-Westfalen, das seine Zahlen nachmittags nochmal aktualisiert. Das kann eine Differenz von bis zu 1000 Infektionen ausmachen. Dort kam es zudem am 20. April zu Änderungen im Meldeverfahren.

e+4 bedeutet 10 hoch 4 = 10.000, es handelt sich also um Zehnerpotenzen. So kann man besser sehen, wie sich exponentielles Wachstum vervielfältigt (logarithmisch dargestellt, ist es eine „schräge“ Gerade). Außerdem lässt sich die Entwicklung anhand dieser Darstellungsart einfacher fortschreiben, z.B. durch eine Regressionsgerade. Die folgende Abbildung soll dies besser verdeutlichen:

Zu Beginn hatte sich die Anzahl der Infizierten bereits nach 6 Tagen verzehnfacht, danach dauerte es 8 Tage, dann 10 Tage. Will man wissen, in welcher Zeit sich die Anzahl lediglich verdoppelt hat (Verdopplungszeit), kann man nicht einfach teilen, sondern rechnet wie folgt (man kann es natürlich auch einfach ablesen):

10^\frac{t}{6}=2\Rightarrow t \approx 1,8
10^\frac{t}{8}=2\Rightarrow t \approx 2,4
10^\frac{t}{10}=2\Rightarrow t \approx 3,0

Es heißt, dass die Verdopplungszeit deutlich über 10 steigen muss, damit wir das Gesundheitssystem nicht überlasten. Das würde einer Wachstumsrate von weniger als 7% entsprechen. Wer die Zahl der Gesamtinfektionen durch den Vortageswert teilt, bekommt genau diesen Quotient: 1 + p \%. Man muss dann lediglich 1 abziehen. Die Verdopplungszeit macht aber nur bei exponentiellem Wachstum als Indikator Sinn, weil sich dabei Zahlen vervielfachen. 

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Testungen

Die Fallzahlen sind sogenannte „absolute Häufigkeiten“, d.h. bei einer „Trefferquote“ von 7% wird man bei 10.000 Tests 700 und bei 100.000 Tests 7000 Infizierte finden. Zähle ich nur die absoluten Zahlen, könnten die Fallzahlen im Verlauf um das 10-fache steigen, ohne, dass sich der Anteil verändert hat. Die Verzehnfachung der Fallzahlen innerhalb eines Monats könnte in Wahrheit also eigentlich gar keine Steigerung sein. Wirklich vergleichbar wären die Werte nur, wenn die Anzahl der Tests konstant bliebe. Insofern wäre es besser, auch die „relativen Häufigkeiten“ zu erfassen. Das könnte auch erklären, warum wir im Ländervergleich so gut abschneiden. Hinzukommt, dass wir in den Ländern von sehr unterschiedlichen Dunkelziffern ausgehen können. In den Lageberichten des RKI vom 8. und 24. April, sowie 20. Mai, kann man die Anzahl der Tests pro Woche detailliert nachlesen:


Stichwort: „Dunkelziffer“

Die Heinsberg-Studie geht von einem Dunkelziffer-Faktor von 10 aus. Ob diese Zahl allerdings auf ganz Deutschland übertragbar ist, ist noch unklar. Eine kürzlich durchgeführten Studie (Stand Anfang Mai) in Teilen der Stadt New York konnte bei 19,9 % der Getesteten Antikörper nachweisen. Bei rund 8,4 Mio Einwohnern und ca. 167.000 bis dahin bestätigten Fällen, läge der reale Anteil Infizierter 10-mal höher. Beide Städte sind allerdings sogenannte „Hotspots“, das Virus breitete sich dort sehr schnell sehr stark aus.

Gegenmaßnahmen

Start der Maßnahme KW Maßnahme
  9. März 11 Absage großer Veranstaltungen mit mehr als 1000 Personen (nicht bundeseinheitlich)
16. März 12 Schulschließungen, Schließungen im Einzelhandel, von Gaststätten und Freizeiteinrichtungen, Besuchsbeschränkungen bei Krankenhäusern und Pflegeheimen, Grenzkontrollen und Reisebeschränkungen
23. März 13 Bundesweit umfangreiches Kontaktverbot / Ausgangssperre

Es ist sicherlich nicht dem Zufall geschuldet, dass sich genau zwei Wochen nach der ersten Beschränkung, die Kurve der Gesamtinfektionen so abflacht, dass sie nur noch linear, statt exponentiell steigt. Und es ist für mich auch sehr wahrscheinlich, dass die Anzahl der Neuinfektionen jetzt recht schnell so weit abnehmen wird, dass wir schrittweise wieder etwas lockern können.

Die Phasen im Detail:

1) 2 Wochen nach dem Verbot größerer Menschenansammlungen flachte die Kurve insoweit ab, dass sie nicht mehr exponentiell, sondern annähernd linear verlief.
2) Nach ca. 2 Wochen umfangreicher Schließungen – u.a. im Einzelhandel und Gastronomie (eine Woche später) – änderte sich die (leichte) Krümmung des Graphen von einer Links- in eine Rechtskurve. Man nennt das in der Mathematik einen „Wendepunkt“.
3) Fast unbemerkt änderte sich dadurch der „Kurs“, und wiederum 1 Woche später verließen wir die lineare Phase mit einer mittleren Steigung von 5000 Infektionen pro Tag. Vermutlich wegen Meldeverzugs über Ostern, machten die Zahlen einen kleinen Schlenker. Es wird sich daher bald zeigen, ob wir auf diesem Kurs bleiben oder doch wieder durch zu frühe Lockerungen davon abkommen werden.

Ländervergleich vom 18. Mai 2020:

Meine Prognosen (alt) für die Fallzahlen in Deutschland:

Vergangene Prognosen

 

Alles eine Frage der Strategie.

Vorausgesetzt, alle Bedingungen bleiben gleich, wird die zukünftige Entwicklung der Neuinfektion pro Tag vermutlich wie folgt aussehen:

Die grünen Punkte sind die Fallzahlen am jeweiligen Tag. Sie variieren zwar stark – wie man sieht – trotzdem kann man einen Trend ausmachen. Da die Kurve der Gesamtinfektionen eine bessere Näherung liefert, ist diese Glockenkurve eine errechnete (1. Ableitung der Gesamtinfektionenfunktion).

Jetzt gibt es zwei Alternativen:

A) Wir fangen früh an zu lockern (blauer Pfeil). Dann beginnt die Welle womöglich wieder von vorne, und – falls es keinen saisonalen Effekt wie bei der Grippe gibt – das Ganze geht von vorne los … und wiederholt sich, bis ein Impfstoff gefunden ist. Wenn diese Welle „unten“ ist, haben wir 140.000 Gesamtinfektionen. Selbst wenn wir schon bei einer Immunitätsrate von 15% sind (s. Heinsberg-Studie), wäre es noch ein weiter Weg bis zur Herdenimmunität, für die wir 60-70 Prozent Infizierte brauchen.

B) Wir warten ein bis zwei Wochen länger bei gleichen Bedingungen. Dann würde die Anzahl der Neuinfektionen auf ein so geringes Maß sinken, dass sich die Infizierten wieder nachverfolgen ließen. Aber bitte wieder an die Dunkelziffer denken. Dabei könnte man in den stärker betroffenen Bundesländern restriktiver sein.

Wenn man mich fragen würde, ich würde mich für Alternative B entscheiden. Ein ewiges Neu-Anrollen mit immerwährenden Beschränkungen, würde uns alle total kirre machen und der Wirtschaft auch nicht gut tun. Die Maßnahmen müssten ständig wieder angezogen werden … und das auf eine sehr lange Zeit … bis eben ein Impfstoff gefunden ist. Aber zu allererst müssen wir bis nach Ostern abwarten, ob sich diese Entwicklung überhaupt bestätigt.

 

Stand 18. April 2020: 

Vermutlich durch Meldeverzug über die Ostertage, hat sich die Ausgleichskurve der Fallzahlen pro Tag etwas verschoben:


Man hat sich für erste Lockerungen entschieden (Variante A). Geschäfte bis 800 m² Verkaufsfläche dürfen unter Beachtung von Hygienemaßnahmen ab dem 17. April wieder öffnen. Mund-Nasen-Schutz (Alltagsmaske) wird ab dem 27. April beim Einkaufen und im ÖPNV Pflicht.

Ob diese Entscheidung verfrüht war, wird sich nach ca. 2 Wochen zeigen. Hoffen wir das Beste.

 

Stand 3. Mai 2020

Weitere Lockerungen werden umgesetzt. Trotzdem gibt es immer mehr Menschen, die Zweifel an den Maßnahmen – besonders an den Schließungen und dem Kontaktverbot – haben. Sie stützen sich dabei in erster Linie auf eine Modellrechnung des RKI, das den möglichen Verlauf der Infizierung zeigen soll. Da man davon ausgeht, dass zwischen Infizierung und Meldung eine Zeitspanne von ca. 2 Wochen liegt, kann man sich die Fallzahlenkurve nach links verschoben vorstellen, wenn man die Wirkung bestimmter Maßnahmen nachvollziehen möchte. Da ich nicht noch mehr Kurven in eine Grafik packen wollte, gebe ich den Zeitpunkt einer möglichen Infizierung in Klammern an:

Maßnahmen Wirkung

Die schwarzen Punkte sind die kumulierten Fälle (alternativ: Zahl der bis dahin Infizierten). Wie man erkennen kann, liegen diese bis zu einem bestimmten Tag auf einer der Kurven. Das war mein optimistisches Modell zum jeweiligen Zeitpunkt. Man stelle sich nun die Situation zu einem Zeitpunkt t für einen Entscheider x vor. Dazu betrachte ich die Kurven zeitversetzt (es gilt also erst einmal das Datum in Klammern):

  • Am 9. März musste man davon ausgehen, dass die Zahlen weiterhin exponentiell steigen.
  • Wie man unschwer erkennen kann, verschiebt sich der Wendepunkt, je weiter man sich auf der Zeitachse nach vorne bewegt. W3 ist der Wendepunkt der aktuellen Ausgleichskurve, Mitte März konnte man aber noch nicht mit Sicherheit sagen, ob sich das Blatt schon gewendet hatte oder bald wenden wird. Die Infektionen stiegen annähernd linear an – wie übrigens in einigen Ländern immer noch. Eine gleichbleibende Änderungsrate kann man vielleicht in Kauf nehmen, wenn das Gesundheitssystem dies zulässt und man von einer relativ geringen Dunkelziffer ausgeht. Doch genau das Gegenteil ist der Fall: In diesen Ländern setzt man auf eine hohe Dunkelziffer und glaubt an schnellere Durchseuchung durch diese Vorgehensweise.
  • Am 23. März hatte sich der Kurs trotz umfangreicher Schließungen immer noch nicht wahrnehmbar geändert.  Man entschloss sich daher weitere Maßnahmen umzusetzen. Wenn man sich jetzt wieder die Lage in Bezug auf die Fallzahlen zum damaligen Zeitpunkt anschaut (den Zeitpunkt außerhalb der Klammern), dann ist das genau der Punkt, ab dem die Fallzahlenpunkte nicht mehr auf der orangefarbenen Kurve liegen.

Nun lässt sich darüber streiten, ob man es nicht bei einem stetigen Wachstum hätte belassen sollen. Einige Länder haben sich für diesen Weg entschieden, damit sie schnell wieder lockern konnten bzw. gar nicht erst zu strengen Maßnahmen greifen mussten. Doch gerade dadurch, dass sie nicht genau beziffern können, wie hoch ihre Dunkelziffer ist, gehen sie ein hohes Risiko ein.
Selbst unsere aktuelle Fallzahlenkurve ist noch nicht so, dass sie den weiteren Verlauf exakt widerspiegelt. Es sieht eher danach aus, dass man noch eine hinzufügen müsste, die noch näher an der grünen Gerade (lineares Wachstum) liegt. Lediglich die Änderungsrate ist kleiner geworden.

 

Stand 8. Mai 2020

Wie äußern sich die verschiedenen Strategien der Länder in den Kurven der täglichen Neuinfektionen? Was könnte sich wie ändern?
Unsere Kurve (grün) ist nicht nur flacher geworden, sondern gegenüber der, manch anderer Länder (orange), erkennt man, dass sie langsam aber stetig gegen Null geht. Bei anderen dauert dies länger, sie sind aber auf dem selben Kurs (türkis). Was jetzt aber auch bei uns passieren könnte, wäre ein Wiederaufflackern (pink). Ich glaube nicht, dass wir eine zweite, größere Welle bekommen werden. Für wahrscheinlicher halte ich, dass die Zahlen zwar wieder ansteigen, aber dann auch wieder durch schnelles Gegensteuern zurückgehen.
Weil so gut wie alle Menschen in allen Ländern rund um den Globus ihr Verhalten geändert haben, steigen die Fallzahlen dort nicht mehr oder stagnieren (Russland und Brasilien z.B. steigen sie noch immer). Das ist grundsätzlich schon mal positiv.
Es ist letztlich eine Frage, wie viele Kranke und Tote ein Land in Kauf zu nehmen bereit ist. Eines müsste allerdings jedem klar sein: Je kleiner diese Zahlen, desto besser! Besser für unser Gesundheitssystem und besser für die Nachverfolgung. Wenn wir uns jetzt wieder mischen – durch Öffnung der Grenzen – werden die, die bisher sehr konsequent auf vieles verzichtet haben, im Nachteil sein. Denn wir riskieren damit unsere schöne nach unten schwingende Form. Ich hoffe sehr, dass nicht alles umsonst war. Denn ich denke, das, was so viele wollen, ist nicht der Virus als ständiger Begleiter. Sie wollen Normalität – die sie mit ihrem schnellen Vorpreschen gerade dabei sind, in weite Ferne zu rücken.

Alle Angaben ohne Gewähr und nur für Bildungszwecke.

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Ein Druck, der eine Kurve zeigt, angelehnt an die Daten von Corona

by Sabine Degen

Extra:  Corona-Welle „LIFE“  

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